Lieux avec module (2) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser et tracer les ensembles suivants.

1. \(\mathscr{E}_1=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z + 3i \right\vert=\left\vert z-2 \right\vert \right\rbrace\)

2. \(\mathscr{E}_2=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z-2i+3 \right\vert= \sqrt{2} \right\rbrace\)

3. \(\mathscr{E}_3=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z-2i-\sqrt{2} \right\vert=\left\vert z -3-i\right\vert \right\rbrace\)

Solution

1. On note \(\text A\)  et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=-3i\) et \(z_\text B=2\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :  \(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1& \Longleftrightarrow\left\vert z - (-3i) \right\vert = \left\vert z-2 \right\vert \Longleftrightarrow \left\vert z - z_\text A \right\vert = \left\vert z - z_\text B \right\vert\Longleftrightarrow \text A\text M=\text B\text M\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est la médiatrice du segment \([\text A\text B]\) .

2.  On note le point \(\;\text A\) du plan complexe d'affixe \(z_\text A=-3+2i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_2& \Longleftrightarrow\left\vert z-(-3+2i) \right\vert = \sqrt{2}\Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = 1\Longleftrightarrow \text A\text M = \sqrt{2}\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_2\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(\sqrt{2}\) .

3. On note \(\text A\) et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=-\sqrt{2}+2i\) et \(z_\text B=3+i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_3& \Longleftrightarrow\left\vert z - (-\sqrt{2}+2i) \right\vert = \left\vert z- (3+i) \right\vert\Longleftrightarrow\left\vert z - z_\text A \right\vert = \left\vert z - z_\text B \right\vert\Longleftrightarrow\text A\text M=\text B\text M\end{align*}\) donc \(\mathscr{E}_3\) est la médiatrice du segment \([\text A\text B]\) .